數學史上的第三次危機，是由1897年的突然衝擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托爾的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到衆多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
背景
第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。
十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對於初等幾何的公理化。
爲了講清楚第三次數學危機的來龍去脈，我們首先要說明什麼是數學危機。一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿着矛盾的鬥爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。
矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾鬥爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾鬥爭的歷史，鬥爭的結果就是數學領域的發展。
人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過鬥爭:要麼引進這些數，要麼大量的數的減法就行不通;同樣，引進分數使乘法有了逆運算--除法，否則許多實際問題也不能解決。但是接着又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數來表示?於是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發展和幾何學的體系化。
方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認爲是"不實的"。可是這種不實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而爲自己爭得存在的權利。
幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來;古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓爲方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。
這些否定的結果表明了傳統方法的侷限性，也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的衝擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此以後向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。
這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿着計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致後，矛盾才能解決。後來算符演算及δ函數也重複了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。
對於第三次數學危機，有人認爲只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因爲如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。
