第一次數學危機產生的原因：
誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作爲一門精確的科學是否還有可能?宇宙的和諧性是否還存在?
在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中，並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。第一次數學危機產生的原因：
畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大發現是證明了畢達哥拉斯定理即我們所說的勾股定理。就是指直角三角形三邊有如下關係的一個命題，即：
(1)和分別代表直角三角形的兩條直角邊， 表示斜邊。這個學派還認爲滿足(1)式的數有無窮多個，並提供了下述三元數組，即若是奇數，並且,則有:
(2)這三元數組只是使(1)式成立的充分條件，而不是必要條件。當畢達哥拉斯學派進一步致力於等式(1)和等式(2)的研究時，米太旁登的希帕蘇斯，發現了在等腰直角三角形中，(1)式中出現了下述結果：
(3)如果直角三角形的兩條直角邊都等於1 時，其斜邊的長就恰好等於。而 找不到可以公度的幾何實體，這在當時的認識水平下，無疑是一個矛盾。此外，是否是個數?對於畢達哥拉斯學派來說，這確實是一個可怕的問題。因爲如果承認它是數，就要與“數即萬物”中所說的整數發生不可調和的矛盾。相傳當時畢達哥拉斯學派的人正在海上，就因這一發現把希帕蘇斯投到海里，因爲他在宇宙中搞出這樣一個東西否定了畢達哥拉斯學派的信條———宇宙中的一切現象都歸結爲正整數或正整數之比。等式(3)所引出的對於畢達哥拉斯學派是一個致命的打擊。“ 數即萬物”的世界觀被徹底地動搖了。由此引發了數學的第一次危機!
第一次數學危機的解決：
數學的第一次危機的解決大約在公元前370年，才華橫溢的希臘數學家畢達哥拉斯的學生阿契塔和歐多克索斯以及柏拉圖給出兩個相等的定義從而消除了這次危機。他們給出的定義與所涉及的量是否有公度無關，其實這也是自然的，因爲兩個線段的比本來與第三個線段無關。
畢達哥拉斯學派首先給出了以單位長爲邊的正方形的對角線的長度不能用整數之比來表示的證明方法，證明過程如下：
假設：是有理數，設(p,q均爲自然數，且(p,q)=1)
所以，兩邊平方得： (1)
所以必爲2的倍數，故q必爲2的倍數。
因爲 (p,q)=1，得p爲奇數。
記，
把兩式代入(1)得：
整理得：顯然左邊爲奇數右邊爲偶數，引出矛盾，故爲無理數。
還有很多方法可以證明爲無理數。是無理數的種種證明，使我們對無理數有了進一步的認識，對數學中的美、對各種豐富的數學思想方法會有更深刻的感受。
數學的第一次危機的實質主要在於數學家的思維囿於錯誤的哲學思想，即主要在於數學家的思維被錯誤哲學思想支配了。本來就是一個數，但它的發現結果反而導致了數學的危機，併成了“ 數即萬物”，而“數”又只能是整數或整數的比這種錯誤哲學觀點的犧牲品。
第一次數學危機的產物：古典邏輯與歐氏幾何學
亞里士多德的方法論對於數學方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區分，由某些屬性來定義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存在的方法需要規定和限制。
亞里士多德還指出公理的必要性，因爲這是演繹推理的出發點。他區別了公理和公設，認爲公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是某一門學科特有的最基本的原理。他把邏輯規律(矛盾律、排中律等)也列爲公理。
亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，並把它表達成一個公理系統，這是最早的公理系統。他關於邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學科，而且對數學證明的發展也有良好的影響。
亞里士多德對於離散與連續的矛盾有一定闡述。對於潛在的無窮(大)和實在的無窮(大)加以區別。他認爲正整數是潛在無窮的，因爲任何整數加上1以後總能得到一個新的數。但是他認爲所謂“無窮集合”是不存在的。他認爲空間是潛在無窮的，時間在延長上是潛在無窮的，在細分上也是潛在無窮的。
歐幾里得的《幾何原本》對數學發展的作用無須在此多談。不過應該指出，歐幾里得的貢獻在於他有史以來第一次總結了以往希臘人的數學知識，構成一個標準化的演繹體系。這對數學乃至哲學、自然科學的影響一直延續到十九世紀。牛頓的《自然哲學的數學原理》和斯賓諾沙的《倫理學》等都採用了歐幾里得《幾何原本》的體例。
歐幾里得的平面幾何學爲《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定義，五個公理和五個公設。他規定了存在的證明依賴於構造。
《幾何原本》在西方世界成爲僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學的標準著作。但是它還存在許多缺點並不斷受到批評，比如對於點、線、面的定義是不嚴格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是隻有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來解釋的。
另外，他的公理五是“整體大於部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設是否可由其他公理、公設推出更是人所矚目的問題。儘管如此，近代數學的體系特點在其中已經基本上形成了。
第一次數學危機的影響：
第一次數學危機的影響是巨大的。
首先，它推動了數學及其相關學科的發展。例如，歐幾里得幾何就是在第一次數學危機中產生的。除此而外，數理天文學的發展也有賴於第一次數學危機。由於宇宙是幾何的，宇宙的規律是幾何規律，因此研究宇宙就離不開幾何圖形以及幾何理論。
其次，第一次數學危機使古希臘數學基礎發生了根本性的變化。我們知道，在第一次數學危機之前，古希臘的數學是以數爲基礎的。第一次數學危機之後，古希臘的數學基礎則轉向幾何。以幾何爲基礎，使數學的公理化成爲可能。而以數爲基礎，在古代是不可能建立數學的公理系統的。這隻要對照一下事實就清楚了。在古代，有不少國家的數學是以數爲基礎的，在這些國家從未建立起數學的公理系統。即使在西方，數的公理系統的建立也是很晚的事情。
最後，數學公理系統的建立，還對整個科學的發展起了巨大的推動作用。我們知道，近代科學誕生於西方，其原因是多方面的。譬如，生產的發展、實驗之風的流行、文藝復興運動或宗教改革運動帶來的思想解放，等等。但我們若追根溯源就會發現，近代科學的源頭是古希臘文明。古希臘文明包括很多因素，但與近代科學最直接相關的是它的科學精神和科學方法。古希臘的數學公理系統，是它的科學精神和科學方法的集中體現。近代西方學者正是通過學習古希臘的數學公理系統，才領悟並把握古希臘的科學精神和科學方法的。藉助這種科學精神和科學方法，他們創立了近代科學。不僅如此，古希臘的數學公理系統還是近代科學的模型或種子。有了這粒種子，近代科學才得以誕生。
就這樣，由於古希臘數學的哲學背景，使其有可能建立世界上第一個數學公理系統。而這個系統是近代科學的種子。這粒種子在近代西方適宜的土壤條件下發芽、生長，最後成爲一棵科學的參天大樹。從這個意義上來看，我們可以說第一次數學危機對近代科學乃至整個科學的發展起了巨大的促進作用。
概而言之，第一次數學危機，不僅僅是數學領域的一個事件，也不僅僅是古希臘科學中的一個事件，而是整個科學發展進程中的一個重要事件，也是整個人類文明演變歷史中的一個重要事件。
