勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形爲勾股形，並且直角邊中較小者爲勾，另一長直角邊爲股，斜邊爲弦，所以稱這個定理爲勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的爲公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC爲一直角三角形，其中A爲直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分爲二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。
歐幾里得證法
證明的思路爲：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分爲二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
設△ABC爲一直角三角形，其直角爲∠CAB。
其邊爲BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因爲AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因爲A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因爲C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個結果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由於CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。
由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
