主要貢獻
1859年，發表的關於素數分佈的論文《論小於某給定值的素數的個數》中，研究了黎曼ζ函數，給出了ζ函數的積分表示與它滿足的函數方程，他指出素數的分佈與黎曼ζ函數之間存在深刻聯繫。這一關聯的核心就是J(x)的積分表達式。
1854年，黎曼在格丁根大學發表的題爲《論作爲幾何學基礎的假設》的演說，創立了黎曼幾何學。黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。
另外，他對偏微分方程及其在物理學中的應用有重大貢獻。甚至對物理學本身，如對熱學、電磁非超距作用和激波理論等也作出重要貢獻。
黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。
黎曼首先提出用複變函數論特別是用ζ函數研究數論的新思想和新方法，開創瞭解析數論的新時期，並對單複變函數論的發展有深刻的影響 。他是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一，黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想象。
他的名字出現在黎曼ζ函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣中。
著作
黎曼的著作主要有：《單複變函數一般理論的基礎》、《關於以幾何學爲基礎的假設》、《藉助三角級數表示函數的可能性》、《數學物理的微分方程》(與韋伯合著)、《橢圓函數論》、《引力、電、磁》、《不超過已知數的素數的數量》等。戴德金於1876年出版了黎曼全集。黎曼的學生們收集他們的講義筆記於1902年出版，作爲全集的補充。
黎曼猜想
黎曼留給後人的難題之一就是當今著名的黎曼猜想，是希爾伯特(Hilbert)在1900年提出的二十三個問題的第八問題，現在又被列爲千禧年七大難題之一。它要求解決的是黎曼zeta函數ζ(s)的非平凡零點都位於複平面Re(s)=1/2直線上。數學家們把這條直線稱爲臨界線。運用這一術語，黎曼猜想可以表述爲：黎曼ζ(s)函數的所有非平凡零點都位於臨界線上。
2018年9月，邁克爾·阿蒂亞聲明證明黎曼猜想，將於9月24日海德堡獲獎者論壇上宣講。9月24日，邁克爾·阿蒂亞貼出了他證明黎曼假設(猜想)的預印本。
人物評價
埃丁頓(Eddington)爵士曾說：“一個像黎曼這樣的幾何學者幾乎可以預見到現實世界的更重要的特徵。”
高斯說：“黎曼……具有創造性的、活躍的、真正數學家的頭腦，具有燦爛豐富的創造力。”
近代數學史家貝爾認爲：“作爲一個數學家，黎曼的偉大在於他給純數學和應用數學揭示的方法和新觀點的有力的普遍性和無限的範圍。”
德國數學家克萊因說：“黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數學家。”
